نکته: درست است که هر دنباله محدود حاوی یک دنباله فرعی همگرا است، و علاوه بر این، هر دنباله یکنواختی همگرا می شود اگر و فقط اگر محدود باشد. اضافه شده برای اطلاعات بیشتر در مورد همگرایی تضمینی دنباله های یکنواخت محدود، مدخل قضیه همگرایی یکنواخت را ببینید.
آیا هر دنباله محدود در R همگرا می شود؟
قضیه بیان می کند که هر دنباله محدود در R دارای یک دنباله فرعی همگرا است. یک فرمول معادل این است که زیر مجموعه ای از R به صورت متوالی فشرده است اگر و فقط اگر بسته و محدود باشد. این قضیه گاهی اوقات قضیه فشردگی متوالی نامیده می شود.
آیا هر دنباله محدودی از اعداد حقیقی همگرا هستند؟
پاسخ و توضیح: (الف) آیا هر دنباله محدود همگرا است؟ نه.
آیا هر دنباله یکنواخت محدود همگرا می شود؟
همه دنباله‌های کران‌دار مانند (-1)n، همگرا نیستند، اما اگر می‌دانیم که دنباله محدود یکنواخت است، آنگاه این تغییر می‌کرد. اگر یک ≥ an+1 برای همه n ∈ N باشد. یک دنباله اگر در حال افزایش یا کاهش باشد یکنواخت است. و محدود می شود، سپس همگرا می شود.
آیا همه دنباله های محدود دنباله فرعی همگرا دارند؟
قضیه بولزانو-وایرشتراس: هر دنباله محدود در Rn یک دنباله فرعی همگرا دارد. از {xmk } یک دنباله محدود از اعداد واقعی است، بنابراین آن نیز دارای یک دنباله فرعی همگرا است، … برعکس، هر دنباله محدود در یک دنباله است.مجموعه بسته و محدود، بنابراین دارای یک دنباله فرعی همگرا است.
