هر زیر گروه از یک گروه abelian نرمال است، بنابراین هر زیرگروه یک گروه ضریب ایجاد می کند. زیر گروه ها، ضریب ها و مجموع مستقیم گروه های آبلی دوباره آبلی هستند. گروه‌های آبلی ساده متناهی دقیقاً گروه‌های حلقوی مرتبه اول هستند.
چرا هر زیر گروه از یک گروه آبلی عادی است؟
(1) هر زیرگروه از یک گروه آبلی عادی است، زیرا ah=ha برای همه a ∈ G و برای همه h ∈ H است. (2) مرکز Z(G) یک گروه همیشه نرمال است زیرا ah=ha برای همه a ∈ G و برای همه h ∈ Z (G).
آیا هر زیر گروه از یک گروه آبلی چرخه ای است؟
همه گروه‌های حلقوی آبلی هستند، اما گروه آبلی لزوماً چرخه‌ای نیستند. … همه زیر گروه های یک گروه آبلی عادی هستند. در یک گروه آبلی، هر عنصر به تنهایی در یک کلاس مزدوج قرار دارد و جدول کاراکترها شامل قدرت های یک عنصر منفرد است که به عنوان مولد گروه شناخته می شود.
آیا زیرگروه عادی گروه آبلی است؟
ثابت کنید که هر زیرگروهی از یک گروه آبلی یک زیرگروه عادی است. پاسخ: به یاد بیاورید: یک زیرگروه H از یک گروه G نرمال نامیده می شود اگر gH=Hg برای هر گرم ∈ G. … gh=hg برای همه h زیرا G آبلی است. بنابراین {gh | h ∈ H}={hg | h ∈ H}=جیوه با تعریف کوست راست جیوه.
آیا هر زیرگروه طبیعی است؟
هر گروه یک زیر گروه عادی برای خودش است. به همین ترتیب، گروه بی اهمیت زیرگروهی از هر گروه است.). از اینها، دومی طبیعی است اما اولی نیست.
