نقطه ایزوله بسته است (نقطه محدودیتی وجود ندارد). یک اتحادیه محدود از مجموعه های بسته بسته است. از این رو هر مجموعه محدود بسته است. (vi) یک مجموعه باز که حاوی هر عدد گویا است، لزوما باید تمام R باشد.
آیا مجموعه های بسته می توانند نقاط ایزوله داشته باشند؟
آیا یک ست بسته می تواند یکی داشته باشد؟ یک مجموعه باز U نمی تواند نقطه ایزوله داشته باشد زیرا اگر x ∈ U و δ > 0 باشد، (x − δ, x + δ) دارای یک بازه است و از این رو حاوی بی نهایت نقاط U است. از سوی دیگر، برای any x، {x} یک مجموعه بسته است که دارای یک نقطه ایزوله، یعنی خود x است.
آیا امتیازهای تک بسته هستند؟
و در هر فضای متریک، مجموعه متشکل از یک نقطه بسته است، زیرا هیچ نقطه حدی برای چنین مجموعه ای وجود ندارد!
آیا نقاط محدودی مجزا هستند؟
A نقطه p یک نقطه حدی از S است اگر هر همسایگی p حاوی یک نقطه q ∈ S باشد، جایی که q=p. اگر p ∈ S نقطه حدی از S نباشد، آن رانقطه ایزوله از S می نامند. اگر هر نقطه حدی از S نقطه ای از S باشد، S بسته می شود.
آیا نقطه ایزوله پیوسته است؟
یک تابع پیوسته در هر نقطه ایزوله است.
