بگذارید P یک زیرگروه Sylow از G باشد. اگر G ساده است، 10 زیر گروه از مرتبه 3 و 6 زیر گروه از مرتبه 5 دارد. اما، از آنجایی که این گروه ها همه چرخه ای هستند. از مرتبه اول ، هر عنصر غیر پیش پا افتاده G حداکثر در یکی از این گروه ها وجود دارد.
آیا گروه های P چرخه ای هستند؟
گروه بی اهمیت تنها گروه درجه یک است و گروه چرخه ای C p تنها گروه از مرتبه p است.
آیا زیرگروه ها چرخه ای هستند؟
قضیه: همه زیر گروه های یک گروه حلقویحلقوی هستند. اگر G=⟨a⟩ حلقوی باشد، برای هر مقسوم علیه d از |G| دقیقاً یک زیرگروه از مرتبه d وجود دارد که ممکن است توسط a|G|/d a | ایجاد شود G | / د. اثبات: اجازه دهید |G|=dn | G |=d n.
آیا زیرگروه های P Sylow طبیعی هستند؟
اگر G دقیقاً یک زیرگروه Sylow p دارد، باید از زیرگروه منحصر به فرد یک سفارش داده شده نرمال باشدعادی باشد. فرض کنید یک زیرگروه P Sylow P نرمال است. سپس با مزدوجات آن برابر می شود. بنابراین، با سومین قضیه سایلو، تنها یک زیرگروه p Sylow می تواند وجود داشته باشد.
آیا زیرگروه های sylow P آبلی هستند؟
ما ثابت می کنیم که زیرگروه های Sylow p از یک گروه محدود G، abelian هستند اگر و فقط اگر اندازه کلاس های p-عناصر G همگی با p باشند، و, اگر p ∈ { 3, 5 }, درجه هر نویسه تقلیل ناپذیر در بلوک p اصلی G برابر p است.
