به طور کلی، حاصلضرب دو زیرگروه S و T یک زیرگروه است اگر و فقط اگر ST=TS، و گفته می شود که دو زیرگروه جایگشت دارند.
چه چیزی یک زیرگروه را یک زیر گروه می کند؟
یک زیرمجموعه H از گروه G زیرگروهی از G است اگر و فقط در صورتی که خالی نباشد و در زیر محصولات و معکوس بسته باشد. هویت یک زیرگروه هویت گروه است: اگر G گروهی با هویت eG باشد، و H زیرگروهی از G با هویت eH است. ، سپس eH=eG.
چرا تقاطع دو زیر گروه یک زیر گروه است؟
از آنجایی که حداقل عنصر هویت 'e' برای هر دو H1 و H2 مشترک است. از آنجایی که H1 و H2 زیر گروه هستند. بنابراین، H1 ∩ H2 زیرگروهی از G است و این قضیه ما است، یعنی محل تلاقی دو زیر گروه از یک گروه دوباره یک زیر گروه است.
آیا حاصل ضرب دو زیرگروه عادی نرمال است؟
زیر مجموعه محصول زیرگروه های عادی معمولی است.
آیا اتحاد دو زیرگروه یک زیر گروه است اگر مثالی را ذکر نکنید؟
اگر گروه G ترکیبی از دو زیرگروه مناسب H1 و H2 باشد، باید H1⊄H2 و H2⊄H1 داشته باشیم، در غیر این صورت G=H1 یا G=H2 و این غیر ممکن است زیرا H1، H2 مناسب هستند. زیر گروه ها سپس G=H1∪H2 زیرگروهی از G است که در قسمت (الف) ممنوع است. بنابراین، هیچ گروهی نمی تواند اتحادیه ای از زیر گروه های مناسب باشد.
